Полунормальные подгруппы конечной группы

6 Подгорная В.В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп.Подгруппа полунормальна, для неё супердобавлением является подгруппа . Так и .Если - нормальная подгруппа конечной группы и - силовская - подгруппа из , то .Если подгруппа полунормальна в группе и в группе нет собственных добавлений к , то квазинормальна.Если элемент , то , где , . Из полунормальности подгруппы вытекает, что . Имеем . Поэтому .Произведение квазинормальной и полунормальной подгрупп является полунормальной подгруппой.В частности, произведение нормальной и полунормальной подгрупп есть полунормальная подгруппа.По лемме 2.1.6 подгруппа полунормальна в , а по следствию 2.2.4 индекс - простое число.В начале приведём утверждение из работы: пусть - группа и - её полунормальная подгруппа.Подгруппа полунормальна, она даже нормальна.